帶電粒子在磁場中的運動
2006/4/13 2:01:36
上海亞皓儀表設(shè)備有限公司 供稿
第五節(jié) 帶電粒子在磁場中的運動
一、 洛倫茲力
洛倫茲力:運動電荷在磁場中所受的力。實驗證明，運動帶電粒子在磁場中受的力F與粒子的電荷q、它的速度v、磁感應(yīng)強度B有如下關(guān)系：。按照矢徑的定義，上式表明，F(xiàn)的大小為: ，θ為v與B之間的夾角；F的方向與v和B構(gòu)成的平面垂直（如圖）。而且F的方向與電荷q的正負也有關(guān)系。由于洛倫茲力的方向總與帶電粒子速度的方向垂直，洛倫茲力永遠不對粒子作功。它只改變粒子運動的方向而不改變它的速率和動能。
二、 洛倫茲力與安培力的關(guān)系
安培力是作用在自由電子上洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。如圖，考慮一段長度為Δl的金屬導(dǎo)線，它放置在垂直紙面向內(nèi)的磁場中。設(shè)導(dǎo)線中通有電流I，其方向向上。
從微觀的角度看，電流是由導(dǎo)體中的自由電子向下作定向運動形成的。設(shè)自由電子的定向運動速度為u，導(dǎo)體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為（自由電子數(shù)密度）n，每個電子所帶的電量為-e。所以根據(jù)電流的定義: 。由于這里電子的定向速度u與磁感應(yīng)強度B垂直，所以，每個電子由于定向運動受到的洛倫茲力為f=euB。 雖然這個力作用在金屬內(nèi)的自由電子上，但是自由電子不會越出金屬導(dǎo)線，它所獲得的沖量最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看來將是金屬導(dǎo)線本身受到這個力。整個長度為Δl的這段導(dǎo)線的體積為SΔl，其中包含自由電子的總數(shù)為nSΔl，每個電子受力f=euB，所以這段導(dǎo)線最終受到的總力為F=nSΔleuB=B(enSu) Δl。而I=enSu，所以F=BIΔl。這正好是安培力。
三、帶電粒子在均勻磁場中的運動
（1）粒子的初速v垂直于B:由于洛倫茲力永遠垂直于粒子的速度，它只改變粒子運動的方向，但不改變其速率v，因此粒子將在平面內(nèi)作勻速圓周運動。設(shè)粒子的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律，f=ma，有:，所以R=mv/qB。運動周期 ， ，f叫做帶電粒子在磁場中的回旋共振頻率。回旋共振頻率與粒子的速率和回旋半徑（又稱拉摩半徑）無關(guān)。
（2）普遍情形:普遍情形下，v與B成任意夾角θ。如圖，v∥=vcosθ,v⊥=vsinθ.若只有v⊥分量，粒子將在垂直于B的平面內(nèi)作勻速圓周運動；若只有v∥分量，磁場對粒子沒有作用力，粒子將沿B的方向（或其反方向）作勻速直線運動。當(dāng)兩個分量同時存在時，粒子的軌跡將成為一條螺旋線。其螺距h（粒子每回轉(zhuǎn)一周時前進的距離）為 ，它與v⊥分量無關(guān)。
四、何質(zhì)比的測定:
利用電子（或其它帶電粒子）在磁場中偏轉(zhuǎn)的特性，可以測定出它們的電荷與質(zhì)量之比，即所謂荷質(zhì)比。
（1）湯姆孫測電子的何質(zhì)比的方法:
如圖，玻璃管內(nèi)抽成真空，陽極A與陰極K之間維持?jǐn)?shù)千伏特的電壓，靠管內(nèi)殘存氣體的離子在陰極引起的二次發(fā)射產(chǎn)生電子流。陽極A和第二個金屬屏A'的中央各有一個小孔，在K、A之間被加速了的電子流，只有很窄一束能夠通過這個孔。如果沒有玻璃管中部的那些裝置，狹窄的電子束依靠慣性前進，直射在玻璃管另一端的熒光屏S的中央，形成一個光點O。 C、D為電容器的兩極板，在它們中間可產(chǎn)生一個豎直方向的電場。在圓形區(qū)域里，可由管外的電磁鐵產(chǎn)生一方向垂直紙面的磁場。適當(dāng)調(diào)節(jié)電場與磁場的強度，可使它們作用在電子上的力達到平衡即 eE=evB,或v=E/B。 由E和B的數(shù)值可以測出電子流的速度v。再將電場切斷，電子束在磁場區(qū)內(nèi)將沿圓弧運動，R=mv/qB，因而電子的何質(zhì)比為 ，半徑R可以直接從儀器上來確定。
（2）磁聚焦法:
如圖，用磁聚焦法測荷質(zhì)比裝置的一種。真空玻璃管中裝有熱陰極K和有小孔的陽極A，在A、K之間加電壓ΔU時，由陽極小孔射出的電子的動能為 ，從而其速率為 。在電容器C上加一不大的橫向交變電場，使不同時刻通過
這里的電子發(fā)生不同程度的偏轉(zhuǎn)。在電容器C和熒光屏S之間加一均勻縱向磁場，如上所述，電子從C出來后將沿螺旋線運動，到 的地方聚焦。適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)B的大小，可使電子流的焦點剛好落在熒光屏S上。這時，h就等于C到S間的距離l，于是從上述h與v的表達式中消去v即得 ，上式右端各量都可以測出，由此即可確定e/m。
五、回旋加速器的基本原理:
回旋加速器是原子核物理學(xué)中獲得高速粒子的一種裝置。這種裝置結(jié)構(gòu)雖然很復(fù)雜，但其基本原理就是利用上面提到的那個回旋共振頻率與速率無關(guān)的性質(zhì)。
如圖，回旋加速器的核心部分為D形盒，它的形狀有如扁圓的金屬盒沿直徑剖開的兩半，每半個都象字母"D"的形狀。兩D形盒之間留有窄縫，中心附近放置離子源（如質(zhì)子、氘核或α粒子源等）。在兩D形盒間接上交流電源（其頻率的數(shù)量級為106周/秒），于是在縫隙里形成一個交變電場。由于電屏蔽效應(yīng)，在每個D形盒的內(nèi)部電場很弱。D形盒裝在一個大的真空容器里，整個裝置放在巨大的電磁鐵兩極之間的強大磁場中，這磁場的方向垂直于D形盒的底面。離子的運動情況如圖:
設(shè)想正當(dāng)D2的電位高的時候，一個帶正電的離子從離子源出發(fā)，它在縫隙中被加速，以速率v1進入D1內(nèi)部的無電場區(qū)。在這里離子在磁場的作用下繞過回旋半徑為R1=mv1/qB的半個圓周而回到縫隙。如果在此期間縫隙間的電場恰好反向，粒子通過縫隙時又被加速，以較大的速率v2進入D2內(nèi)部的無電場區(qū)，在其中繞過回旋半徑為R2=mv2/qB的半個圓周后再次回到縫隙。雖然半徑不同，但是周期是一樣的。所以只要縫隙中交變電場以不變的回旋共振周期往復(fù)變化，便可保證離子每次經(jīng)過縫隙時受到的電場力都是使它加速的。這樣，不斷被加速的離子將沿著螺線軌道逐漸趨于D形盒的邊緣，達到預(yù)期的速率后，用特殊的裝置將它們引出。
六、霍爾效應(yīng)
霍耳效應(yīng):通有電流I的金屬或半導(dǎo)體板置于磁感強度為B的均勻磁場中，磁場的方向和電流方向垂直。在金屬板的兩側(cè)M和N之間就顯示出微弱的橫向電勢差。這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng)(Hall effect)。電勢差VM－VN 就稱為霍耳電勢差。
實驗表明：霍耳電勢差的大小，與電流I及磁感強度的大小B成正比，而與板的厚度d成反比。即:其中RH稱為霍耳系數(shù)。
霍耳效應(yīng)可用磁場中的載流子受到的洛侖茲力來說明:設(shè)載流子帶電量為q，載流子的數(shù)密度為n，載流子的平均漂移速度為v，它們在洛侖茲力qvB作用下向板的一側(cè)聚集，使得在M、N兩側(cè)出現(xiàn)等量異號電荷，在板內(nèi)建立起不斷增加的橫向電場。當(dāng)載流子受到的洛侖茲力和橫向電場力相等時，載流子不再做側(cè)向運動，在平衡時有:設(shè)板的側(cè)向?qū)挾葹閎，則:. 由電流強度I的定義，得:，得霍耳電勢差: . 因此，霍耳系數(shù)RH : , 霍耳系數(shù)RH與材料性質(zhì)有關(guān)。
因為半導(dǎo)體的載流子濃度遠小于金屬電子的濃度且易受溫度、雜質(zhì)的影響，所以霍耳系數(shù)是研究半導(dǎo)體的重要方法之一。利用半導(dǎo)體的霍耳效應(yīng)制成的器件成為霍耳元件。利用霍耳效應(yīng)還可以測量載流子的類型和數(shù)密度，可以測量磁場。
量子霍耳效應(yīng): 1980年德國物理學(xué)家克立欽(K. Von Klitzing)在低溫(1.5K)和強磁場(19T)條件下，發(fā)現(xiàn):式中的霍耳電勢差與電流的關(guān)系，不再是線性的，而是臺階式的非線性關(guān)系，這就是量子霍耳效應(yīng)。量子霍耳效應(yīng)與低維系統(tǒng)的性質(zhì)、高溫超導(dǎo)體的性質(zhì)存在聯(lián)系。另外，量子霍耳效應(yīng)給電阻提供了一個新的測量基準(zhǔn)，其精度可達10－10。1986年克立欽因量子霍耳效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)獲諾貝爾獎金。
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一、 洛倫茲力
洛倫茲力:運動電荷在磁場中所受的力。實驗證明，運動帶電粒子在磁場中受的力F與粒子的電荷q、它的速度v、磁感應(yīng)強度B有如下關(guān)系：。按照矢徑的定義，上式表明，F(xiàn)的大小為: ，θ為v與B之間的夾角；F的方向與v和B構(gòu)成的平面垂直（如圖）。而且F的方向與電荷q的正負也有關(guān)系。由于洛倫茲力的方向總與帶電粒子速度的方向垂直，洛倫茲力永遠不對粒子作功。它只改變粒子運動的方向而不改變它的速率和動能。
二、 洛倫茲力與安培力的關(guān)系
安培力是作用在自由電子上洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。如圖，考慮一段長度為Δl的金屬導(dǎo)線，它放置在垂直紙面向內(nèi)的磁場中。設(shè)導(dǎo)線中通有電流I，其方向向上。
從微觀的角度看，電流是由導(dǎo)體中的自由電子向下作定向運動形成的。設(shè)自由電子的定向運動速度為u，導(dǎo)體單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為（自由電子數(shù)密度）n，每個電子所帶的電量為-e。所以根據(jù)電流的定義: 。由于這里電子的定向速度u與磁感應(yīng)強度B垂直，所以，每個電子由于定向運動受到的洛倫茲力為f=euB。 雖然這個力作用在金屬內(nèi)的自由電子上，但是自由電子不會越出金屬導(dǎo)線，它所獲得的沖量最終都會傳遞給金屬的晶格骨架。宏觀上看來將是金屬導(dǎo)線本身受到這個力。整個長度為Δl的這段導(dǎo)線的體積為SΔl，其中包含自由電子的總數(shù)為nSΔl，每個電子受力f=euB，所以這段導(dǎo)線最終受到的總力為F=nSΔleuB=B(enSu) Δl。而I=enSu，所以F=BIΔl。這正好是安培力。
三、帶電粒子在均勻磁場中的運動
（1）粒子的初速v垂直于B:由于洛倫茲力永遠垂直于粒子的速度，它只改變粒子運動的方向，但不改變其速率v，因此粒子將在平面內(nèi)作勻速圓周運動。設(shè)粒子的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律，f=ma，有:，所以R=mv/qB。運動周期 ， ，f叫做帶電粒子在磁場中的回旋共振頻率。回旋共振頻率與粒子的速率和回旋半徑（又稱拉摩半徑）無關(guān)。
（2）普遍情形:普遍情形下，v與B成任意夾角θ。如圖，v∥=vcosθ,v⊥=vsinθ.若只有v⊥分量，粒子將在垂直于B的平面內(nèi)作勻速圓周運動；若只有v∥分量，磁場對粒子沒有作用力，粒子將沿B的方向（或其反方向）作勻速直線運動。當(dāng)兩個分量同時存在時，粒子的軌跡將成為一條螺旋線。其螺距h（粒子每回轉(zhuǎn)一周時前進的距離）為 ，它與v⊥分量無關(guān)。
四、何質(zhì)比的測定:
利用電子（或其它帶電粒子）在磁場中偏轉(zhuǎn)的特性，可以測定出它們的電荷與質(zhì)量之比，即所謂荷質(zhì)比。
（1）湯姆孫測電子的何質(zhì)比的方法:
如圖，玻璃管內(nèi)抽成真空，陽極A與陰極K之間維持?jǐn)?shù)千伏特的電壓，靠管內(nèi)殘存氣體的離子在陰極引起的二次發(fā)射產(chǎn)生電子流。陽極A和第二個金屬屏A'的中央各有一個小孔，在K、A之間被加速了的電子流，只有很窄一束能夠通過這個孔。如果沒有玻璃管中部的那些裝置，狹窄的電子束依靠慣性前進，直射在玻璃管另一端的熒光屏S的中央，形成一個光點O。 C、D為電容器的兩極板，在它們中間可產(chǎn)生一個豎直方向的電場。在圓形區(qū)域里，可由管外的電磁鐵產(chǎn)生一方向垂直紙面的磁場。適當(dāng)調(diào)節(jié)電場與磁場的強度，可使它們作用在電子上的力達到平衡即 eE=evB,或v=E/B。 由E和B的數(shù)值可以測出電子流的速度v。再將電場切斷，電子束在磁場區(qū)內(nèi)將沿圓弧運動，R=mv/qB，因而電子的何質(zhì)比為 ，半徑R可以直接從儀器上來確定。
（2）磁聚焦法:
如圖，用磁聚焦法測荷質(zhì)比裝置的一種。真空玻璃管中裝有熱陰極K和有小孔的陽極A，在A、K之間加電壓ΔU時，由陽極小孔射出的電子的動能為 ，從而其速率為 。在電容器C上加一不大的橫向交變電場，使不同時刻通過
這里的電子發(fā)生不同程度的偏轉(zhuǎn)。在電容器C和熒光屏S之間加一均勻縱向磁場，如上所述，電子從C出來后將沿螺旋線運動，到 的地方聚焦。適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)B的大小，可使電子流的焦點剛好落在熒光屏S上。這時，h就等于C到S間的距離l，于是從上述h與v的表達式中消去v即得 ，上式右端各量都可以測出，由此即可確定e/m。
五、回旋加速器的基本原理:
回旋加速器是原子核物理學(xué)中獲得高速粒子的一種裝置。這種裝置結(jié)構(gòu)雖然很復(fù)雜，但其基本原理就是利用上面提到的那個回旋共振頻率與速率無關(guān)的性質(zhì)。
如圖，回旋加速器的核心部分為D形盒，它的形狀有如扁圓的金屬盒沿直徑剖開的兩半，每半個都象字母"D"的形狀。兩D形盒之間留有窄縫，中心附近放置離子源（如質(zhì)子、氘核或α粒子源等）。在兩D形盒間接上交流電源（其頻率的數(shù)量級為106周/秒），于是在縫隙里形成一個交變電場。由于電屏蔽效應(yīng)，在每個D形盒的內(nèi)部電場很弱。D形盒裝在一個大的真空容器里，整個裝置放在巨大的電磁鐵兩極之間的強大磁場中，這磁場的方向垂直于D形盒的底面。離子的運動情況如圖:
設(shè)想正當(dāng)D2的電位高的時候，一個帶正電的離子從離子源出發(fā)，它在縫隙中被加速，以速率v1進入D1內(nèi)部的無電場區(qū)。在這里離子在磁場的作用下繞過回旋半徑為R1=mv1/qB的半個圓周而回到縫隙。如果在此期間縫隙間的電場恰好反向，粒子通過縫隙時又被加速，以較大的速率v2進入D2內(nèi)部的無電場區(qū)，在其中繞過回旋半徑為R2=mv2/qB的半個圓周后再次回到縫隙。雖然半徑不同，但是周期是一樣的。所以只要縫隙中交變電場以不變的回旋共振周期往復(fù)變化，便可保證離子每次經(jīng)過縫隙時受到的電場力都是使它加速的。這樣，不斷被加速的離子將沿著螺線軌道逐漸趨于D形盒的邊緣，達到預(yù)期的速率后，用特殊的裝置將它們引出。
六、霍爾效應(yīng)
霍耳效應(yīng):通有電流I的金屬或半導(dǎo)體板置于磁感強度為B的均勻磁場中，磁場的方向和電流方向垂直。在金屬板的兩側(cè)M和N之間就顯示出微弱的橫向電勢差。這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng)(Hall effect)。電勢差VM－VN 就稱為霍耳電勢差。
實驗表明：霍耳電勢差的大小，與電流I及磁感強度的大小B成正比，而與板的厚度d成反比。即:其中RH稱為霍耳系數(shù)。
霍耳效應(yīng)可用磁場中的載流子受到的洛侖茲力來說明:設(shè)載流子帶電量為q，載流子的數(shù)密度為n，載流子的平均漂移速度為v，它們在洛侖茲力qvB作用下向板的一側(cè)聚集，使得在M、N兩側(cè)出現(xiàn)等量異號電荷，在板內(nèi)建立起不斷增加的橫向電場。當(dāng)載流子受到的洛侖茲力和橫向電場力相等時，載流子不再做側(cè)向運動，在平衡時有:設(shè)板的側(cè)向?qū)挾葹閎，則:. 由電流強度I的定義，得:，得霍耳電勢差: . 因此，霍耳系數(shù)RH : , 霍耳系數(shù)RH與材料性質(zhì)有關(guān)。
因為半導(dǎo)體的載流子濃度遠小于金屬電子的濃度且易受溫度、雜質(zhì)的影響，所以霍耳系數(shù)是研究半導(dǎo)體的重要方法之一。利用半導(dǎo)體的霍耳效應(yīng)制成的器件成為霍耳元件。利用霍耳效應(yīng)還可以測量載流子的類型和數(shù)密度，可以測量磁場。
量子霍耳效應(yīng): 1980年德國物理學(xué)家克立欽(K. Von Klitzing)在低溫(1.5K)和強磁場(19T)條件下，發(fā)現(xiàn):式中的霍耳電勢差與電流的關(guān)系，不再是線性的，而是臺階式的非線性關(guān)系，這就是量子霍耳效應(yīng)。量子霍耳效應(yīng)與低維系統(tǒng)的性質(zhì)、高溫超導(dǎo)體的性質(zhì)存在聯(lián)系。另外，量子霍耳效應(yīng)給電阻提供了一個新的測量基準(zhǔn)，其精度可達10－10。1986年克立欽因量子霍耳效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)獲諾貝爾獎金。
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